使用不同公式的绘图位置

计算绘图位置

绘制百分位图、分位数图或概率图时，必须计算有序数据的绘图位置。

对于样本\(X\)，总体大小为\(n\)，第\(j^\mathrm{th}\)个元素的绘图位置定义为

\[\frac{x_{j} - \alpha}{n + 1 - \alpha - \beta }\]

在此方程中，α和β可以取多个值。常见值描述如下：

“类型 4” (α=0, β=1)
经验CDF的线性插值。
“类型 5” 或 “Hazen” (α=0.5, β=0.5)
分段线性插值。
“类型 6” 或 “Weibull” (α=0, β=0)
威布尔绘图位置。所有分布的无偏超额概率。推荐用于水文应用。
“类型 7” (α=1, β=1)
R 中的默认值。不推荐用于概率刻度，因为最小值和最大值数据点分别获得0和1的绘图位置，因此无法显示。
“类型 8” (α=1/3, β=1/3)
近似中位数无偏。
“类型 9” 或 “Blom” (α=0.375, β=0.375)
如果数据呈正态分布，则近似无偏位置。
“中位数” (α=0.3175, β=0.3175)
所有分布的中位数超额概率（用于scipy.stats.probplot）。
“APL” 或 “PWM” (α=0.35, β=0.35)
与概率加权矩一起使用。
“Cunnane” (α=0.4, β=0.4)
正态分布数据的近似无偏分位数。这是默认值。
“Gringorten” (α=0.44, β=0.44)
用于古姆布尔分布。

本教程的目的是展示所选的 α 和 β 如何改变概率图的形状。

首先，让我们做一些分析设置...

%matplotlib inline

import warnings
warnings.simplefilter('ignore')

import numpy
from matplotlib import pyplot
from scipy import stats
import seaborn

clear_bkgd = {'axes.facecolor':'none', 'figure.facecolor':'none'}
seaborn.set(style='ticks', context='talk', color_codes=True, rc=clear_bkgd)

import probscale


def format_axes(ax1, ax2):
    """ Sets axes labels and grids """
    for ax in (ax1, ax2):
        if ax is not None:
            ax.set_ylim(bottom=1, top=99)
            ax.set_xlabel('Values of Data')
            seaborn.despine(ax=ax)
            ax.yaxis.grid(True)

    ax1.legend(loc='upper left', numpoints=1, frameon=False)
    ax1.set_ylabel('Normal Probability Scale')
    if ax2 is not None:
        ax2.set_ylabel('Weibull Probability Scale')

正态与威布尔刻度以及Cunnane与威布尔绘图位置

在这里，我们将生成一些假的、正态分布的数据，并从 scipy 定义一个威布尔分布用于概率刻度。

numpy.random.seed(0)  # reproducible
data = numpy.random.normal(loc=5, scale=1.25, size=37)

# simple weibull distribution
weibull = stats.weibull_min(2)

现在让我们在威布尔和正态概率刻度上创建概率图。此外，我们将为每个图计算两种不同但常用的绘图位置。

首先，用蓝色圆圈表示数据，并使用威布尔（α=0, β=0）绘图位置。威布尔绘图位置常用于水文学和水资源工程等领域。

用绿色方块表示数据，并使用Cunnane（α=0.4, β=0.4）绘图位置。Cunnane绘图位置适用于正态分布数据，并且是默认值。

w_opts = {'label': 'Weibull (α=0, β=0)',     'marker': 'o', 'markeredgecolor': 'b'}
c_opts = {'label': 'Cunnane (α=0.4, β=0.4)', 'marker': 's', 'markeredgecolor': 'g'}

common_opts = {
    'markerfacecolor': 'none',
    'markeredgewidth': 1.25,
    'linestyle': 'none'
}

fig, (ax1, ax2) = pyplot.subplots(figsize=(10, 8), ncols=2, sharex=True, sharey=False)

for dist, ax in zip([None, weibull], [ax1, ax2]):
    for opts, postype in zip([w_opts, c_opts,], ['weibull', 'cunnane']):
        probscale.probplot(data, ax=ax, dist=dist, probax='y',
                           scatter_kws={**opts, **common_opts},
                           pp_kws={'postype': postype})

format_axes(ax1, ax2)
fig.tight_layout()
../_images/output_9_0.png

这表明绘图位置的不同公式在数据集的极端值处差异最大。

哈森绘图位置

接下来，我们比较Hazen/类型5（α=0.5, β=0.5）公式与Cunnane。Hazen绘图位置（显示为红色三角形）代表数据集经验累积分布函数的分段线性插值。

鉴于α和β=0.5的值与Cunnane值仅略有不同，绘图位置可预测地相似。

h_opts = {'label': 'Hazen (α=0.5, β=0.5)', 'marker': '^', 'markeredgecolor': 'r'}
fig, (ax1, ax2) = pyplot.subplots(figsize=(10, 8), ncols=2, sharex=True, sharey=False)

for dist, ax in zip([None, weibull], [ax1, ax2]):
    for opts, postype in zip([c_opts, h_opts,], ['cunnane', 'Hazen']):
        probscale.probplot(data, ax=ax, dist=dist, probax='y',
                           scatter_kws={**opts, **common_opts},
                           pp_kws={'postype': postype})

format_axes(ax1, ax2)
fig.tight_layout()
../_images/output_11_0.png

总结

冒着显示非常杂乱且难以阅读的图形的风险，让我们将所有三者放在相同的正态概率刻度上

fig, ax1 = pyplot.subplots(figsize=(6, 8))

for opts, postype in zip([w_opts, c_opts, h_opts,], ['weibull', 'cunnane', 'hazen']):
    probscale.probplot(data, ax=ax1, dist=None, probax='y',
                       scatter_kws={**opts, **common_opts},
                       pp_kws={'postype': postype})

format_axes(ax1, None)
fig.tight_layout()
../_images/output_13_0.png

再次强调，α和β的不同值并不会显著改变概率图在——比方说——下四分位数和上四分位数之间的形状。然而，超出四分位数后，差异会更加明显。

下面的单元格计算了我们已研究的三组 α 和 β 值的绘图位置，并打印前十个值以便于比较。

# weibull plotting positions and sorted data
w_probs, _ = probscale.plot_pos(data, postype='weibull')

# normal plotting positions, returned "data" is identical to above
c_probs, _ = probscale.plot_pos(data, postype='cunnane')

# type 4 plot positions
h_probs, _ = probscale.plot_pos(data, postype='hazen')

# convert to percentages
w_probs *= 100
c_probs *= 100
h_probs *= 100

print('Weibull: ', numpy.round(w_probs[:10], 2))
print('Cunnane: ', numpy.round(c_probs[:10], 2))
print('Hazen:   ', numpy.round(h_probs[:10], 2))

Weibull:  [  2.63   5.26   7.89  10.53  13.16  15.79  18.42  21.05  23.68  26.32]
Cunnane:  [  1.61   4.3    6.99   9.68  12.37  15.05  17.74  20.43  23.12  25.81]
Hazen:    [  1.35   4.05   6.76   9.46  12.16  14.86  17.57  20.27  22.97  25.68]