直方图的箱体、密度和权重

Axes.hist 方法可以通过几种不同的方式灵活地创建直方图，这种灵活性很有用，但也可能导致混淆。具体来说，你可以

• 按你希望的方式将数据分箱，无论是通过自动选择的箱体数量，还是通过固定的箱体边缘，

• 归一化直方图，使其积分值为一，

• 并为数据点分配权重，使得每个数据点对其所在箱体的计数产生不同的影响。

Matplotlib 的 hist 方法调用 numpy.histogram 并绘制结果，因此用户应查阅 numpy 文档以获取确切指南。

直方图的创建方式是定义箱体边缘，然后将数据集中的值分类到这些箱体中，并计算或汇总每个箱体中有多少数据。在这个简单的例子中，9 个介于 1 和 4 之间的数字被分入 3 个箱体

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(19680801)

xdata = np.array([1.2, 2.3, 3.3, 3.1, 1.7, 3.4, 2.1, 1.25, 1.3])
xbins = np.array([1, 2, 3, 4])

# changing the style of the histogram bars just to make it
# very clear where the boundaries of the bins are:
style = {'facecolor': 'none', 'edgecolor': 'C0', 'linewidth': 3}

fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(xdata, bins=xbins, **style)

# plot the xdata locations on the x axis:
ax.plot(xdata, 0*xdata, 'd')
ax.set_ylabel('Number per bin')
ax.set_xlabel('x bins (dx=1.0)')

修改箱体

改变箱体大小会改变这种稀疏直方图的形状，因此，根据你的数据谨慎选择箱体是个好主意。这里我们将箱体宽度减半。

xbins = np.arange(1, 4.5, 0.5)

fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(xdata, bins=xbins, **style)
ax.plot(xdata, 0*xdata, 'd')
ax.set_ylabel('Number per bin')
ax.set_xlabel('x bins (dx=0.5)')

我们也可以让 numpy（通过 Matplotlib）自动选择箱体，或指定一个数量让其自动选择箱体

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['auto', 'n4']],
                             sharex=True, sharey=True, layout='constrained')

ax['auto'].hist(xdata, **style)
ax['auto'].plot(xdata, 0*xdata, 'd')
ax['auto'].set_ylabel('Number per bin')
ax['auto'].set_xlabel('x bins (auto)')

ax['n4'].hist(xdata, bins=4, **style)
ax['n4'].plot(xdata, 0*xdata, 'd')
ax['n4'].set_xlabel('x bins ("bins=4")')

直方图归一化：密度和权重

每个箱体的计数是直方图中每个条形的默认长度。但是，我们也可以使用 density 参数将条形长度归一化为概率密度函数

fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(xdata, bins=xbins, density=True, **style)
ax.set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$])')
ax.set_xlabel('x bins (dx=0.5 $V$)')

这种归一化在仅探索数据时可能有点难以解释。每个条形上的值被总数据点数和箱体宽度除以，因此，当对数据的整个范围进行积分时，这些值会积分到一。例如，

density = counts / (sum(counts) * np.diff(bins))
np.sum(density * np.diff(bins)) == 1

这种归一化是统计学中定义概率密度函数的方式。如果 \(X\) 是 \(x\) 上的随机变量，那么如果 \(P[a<X<b] = \int_a^b f_X dx\)，则 \(f_X\) 是概率密度函数。如果 x 的单位是伏特，那么 \(f_X\) 的单位是 \(V^{-1}\) 或每伏特变化的概率。

当我们从已知分布中抽取并尝试与理论进行比较时，这种归一化的用处会更清楚一些。因此，从正态分布中选择 1000 个点，并计算已知的概率密度函数

xdata = rng.normal(size=1000)
xpdf = np.arange(-4, 4, 0.1)
pdf = 1 / (np.sqrt(2 * np.pi)) * np.exp(-xpdf**2 / 2)

如果我们不使用 density=True，我们需要将预期的概率分布函数按数据长度和箱体宽度进行缩放

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['False', 'True']], layout='constrained')
dx = 0.1
xbins = np.arange(-4, 4, dx)
ax['False'].hist(xdata, bins=xbins, density=False, histtype='step', label='Counts')

# scale and plot the expected pdf:
ax['False'].plot(xpdf, pdf * len(xdata) * dx, label=r'$N\,f_X(x)\,\delta x$')
ax['False'].set_ylabel('Count per bin')
ax['False'].set_xlabel('x bins [V]')
ax['False'].legend()

ax['True'].hist(xdata, bins=xbins, density=True, histtype='step', label='density')
ax['True'].plot(xpdf, pdf, label='$f_X(x)$')
ax['True'].set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$]')
ax['True'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['True'].legend()

因此，使用密度的优点是直方图的形状和振幅不取决于箱体的大小。考虑一个极端情况，即箱体宽度不同。在此示例中，x=-1.25 以下的箱体宽度是其余箱体的六倍。通过按密度归一化，我们保留了分布的形状，而如果不这样做，则较宽的箱体将比窄箱体具有更高的计数

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['False', 'True']], layout='constrained')
dx = 0.1
xbins = np.hstack([np.arange(-4, -1.25, 6*dx), np.arange(-1.25, 4, dx)])
ax['False'].hist(xdata, bins=xbins, density=False, histtype='step', label='Counts')
ax['False'].plot(xpdf, pdf * len(xdata) * dx, label=r'$N\,f_X(x)\,\delta x_0$')
ax['False'].set_ylabel('Count per bin')
ax['False'].set_xlabel('x bins [V]')
ax['False'].legend()

ax['True'].hist(xdata, bins=xbins, density=True, histtype='step', label='density')
ax['True'].plot(xpdf, pdf, label='$f_X(x)$')
ax['True'].set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$]')
ax['True'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['True'].legend()

同样，如果我们要比较具有不同箱体宽度的直方图，我们可能需要使用 density=True

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['False', 'True']], layout='constrained')

# expected PDF
ax['True'].plot(xpdf, pdf, '--', label='$f_X(x)$', color='k')

for nn, dx in enumerate([0.1, 0.4, 1.2]):
    xbins = np.arange(-4, 4, dx)
    # expected histogram:
    ax['False'].plot(xpdf, pdf*1000*dx, '--', color=f'C{nn}')
    ax['False'].hist(xdata, bins=xbins, density=False, histtype='step')

    ax['True'].hist(xdata, bins=xbins, density=True, histtype='step', label=dx)

# Labels:
ax['False'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['False'].set_ylabel('Count per bin')
ax['True'].set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$]')
ax['True'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['True'].legend(fontsize='small', title='bin width:')

有时人们希望进行归一化，使得计数的总和为一。这类似于离散变量的概率质量函数，其中所有值的概率之和等于一。使用 hist，如果我们将权重设置为 1/N，就可以实现这种归一化。请注意，这种归一化直方图的振幅仍然取决于箱体的宽度和/或数量

fig, ax = plt.subplots(layout='constrained', figsize=(3.5, 3))

for nn, dx in enumerate([0.1, 0.4, 1.2]):
    xbins = np.arange(-4, 4, dx)
    ax.hist(xdata, bins=xbins, weights=1/len(xdata) * np.ones(len(xdata)),
                   histtype='step', label=f'{dx}')
ax.set_xlabel('x bins [$V$]')
ax.set_ylabel('Bin count / N')
ax.legend(fontsize='small', title='bin width:')

归一化直方图的价值在于比较具有不同群体大小的两个分布。这里我们比较 `xdata`（1000 个成员）和 `xdata2`（100 个成员）的分布。

xdata2 = rng.normal(size=100)

fig, ax = plt.subplot_mosaic([['no_norm', 'density', 'weight']],
                             layout='constrained', figsize=(8, 4))

xbins = np.arange(-4, 4, 0.25)

ax['no_norm'].hist(xdata, bins=xbins, histtype='step')
ax['no_norm'].hist(xdata2, bins=xbins, histtype='step')
ax['no_norm'].set_ylabel('Counts')
ax['no_norm'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['no_norm'].set_title('No normalization')

ax['density'].hist(xdata, bins=xbins, histtype='step', density=True)
ax['density'].hist(xdata2, bins=xbins, histtype='step', density=True)
ax['density'].set_ylabel('Probability density [$V^{-1}$]')
ax['density'].set_title('Density=True')
ax['density'].set_xlabel('x bins [$V$]')

ax['weight'].hist(xdata, bins=xbins, histtype='step',
                  weights=1 / len(xdata) * np.ones(len(xdata)),
                  label='N=1000')
ax['weight'].hist(xdata2, bins=xbins, histtype='step',
                  weights=1 / len(xdata2) * np.ones(len(xdata2)),
                  label='N=100')
ax['weight'].set_xlabel('x bins [$V$]')
ax['weight'].set_ylabel('Counts / N')
ax['weight'].legend(fontsize='small')
ax['weight'].set_title('Weight = 1/N')

plt.show()

标签： 绘图类型：直方图 领域：统计学

参考

本示例展示了以下函数、方法、类和模块的使用

• matplotlib.axes.Axes.hist / matplotlib.pyplot.hist

• matplotlib.axes.Axes.set_title

• matplotlib.axes.Axes.set_xlabel

• matplotlib.axes.Axes.set_ylabel

• matplotlib.axes.Axes.legend